Trong toán học, một không gian tích trong hay không gian Hausdorff tiền Hilbert[1][2] là một không gian vectơ được trang bị một phép toán hai ngôi gọi là tích trong. Phép toán này liên kết mỗi cặp vectơ trong không gian với một đại lượng vô hướng gọi là tích trong của các vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu bra-ket (ví dụ ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } .)[3] Tích trong cho phép định nghĩa các khái niệm trực quan hình học như độ dài của một vectơ hay góc giữa hai vectơ. Chúng cũng cung cấp các cách định nghĩa tính trực giao giữa hai vectơ (tích trong bằng 0). Không gian tích trong tổng quát hóa không gian Euclid (trong đó tích trong chính là tích vô hướng[4]) cho các không gian vectơ với số chiều bất kỳ (có thể vô hạn), và được nghiên cứu trong giải tích hàm. Không gian tích trong trên trường số phức đôi khi được gọi là không gian unita. Khái niệm không gian vectơ với một tích trong lần đầu tiên được sử dụng bởi Giuseppe Peano, vào năm 1898.[5]Một không gian tích trong thường tạo ra một chuẩn liên hệ với nó, (trong ảnh, |x| và |y| là các chuẩn của x và y), một cách chính tắc nó làm cho mọi không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn. Nếu không gian định chuẩn này cũng là một không gian Banach thì không gian tích trong được gọi là không gian Hilbert.[1] Nếu một không gian tích trong (H, ⟨·, ·⟩) không là không gian Hilbert thì nó có thể được "bổ sung" để trở thành không gian Hilbert (H, ⟨·, ·⟩H), gọi là làm đầy đủ hóa. Nói một cách rõ ràng, điều này nghĩa là H được nhúng tuyến tính và đẳng cự vào một không gian con trù mật của H và sao cho tích trong ⟨·, ·⟩H trên H là sự bổ sung liên tục của không gian tích trong ban đầu ⟨·, ·⟩.[1][6]